Equations

En Mésopotamie, les sumériens ont inventés la première écriture vers 3300 av. J.-C. Des fouilles, commencées au XIXe siècle, ont permis d'exhumer plusieurs tablettes d'argile frappées au stylet en écriture cunéiforme et probablement cuites ensuite. Près de 300 d'entre elles concernent les mathématiques et datent soit de la première dynastie babylonienne (1800 à 1500 av JC) marquée par le règne d'Hammurabi, soit de la période hellénistique, entre 600 et 300 av J.-C.

Tablette cuneiforme babylonienne

Les premiers textes connus sont très courts et traitent pour la plupart de comptabilité, de sacs de grain, d'esclaves, d'animaux domestiques. Une numérotation à base soixante est employée, à l'origine de notre division des heures et des degrés. Cette civilisation extraordinaire voit lui succéder entre 1900 et 1600 av J.-C., un empire dont la capitale est Babylone sur l'Euphrate, juste au Sud de la Bagdad actuelle. Les tablettes de cette époque conservent une foule d'informations, en particulier elles nous révèlent un algèbre déjà très développé et témoignent de la maîtrise des babyloniens à résoudre des équations du second degré.

Les babyloniens n'écrivaient que des recettes sur leurs tablettes, et ce sont les grecs qui fonderont les mathématiques sur la méthode de déduction.
Le savoir babylonien est ignoré par les grecs jusqu'à ce que Diophante (IVe siècle) s'y intéresse et poursuive les recherches des habitants du «pays d'entre les fleuves» Il aura une approche algébrique du problème. Avant lui, les méthodes sont géométriques.
Au 8e siècle, les mathématiciens arabes ou plus exactement ceux venant de régions allant de l'Espagne au Moyen-Orient, commencent à se procurer des manuscrits grecs à constantinople. Ils reçoivent aussi des livres indiens de calcul qui expliquent l'usage du zéro. Vers 820-830, Al - Khwarizmi, (originaire d'Ouzbékistan, connu plus tard par des traduction latines appelés algorismus, origine du mot Algorithme) membre de la communauté scientifique réunie autour du calife Al Mamoun, décrit, dans son traité d'algèbre, des transformations algébriques qui, avec nos notations, donnent pour l'équation :

6x² - 6x + 4 = 4x² - 2x + 8
6x² + 4 + 2x = 4x² + 8 + 6x      par al jabr ;
3x² + 2 + x = 2x² + 4 + 3x       par al hatt ;
x² = 2x + 2                                par al muqqabala .

Il distingue six types d'équations de degré inférieur ou égal à deux, dont les coefficients a,b et c sont positifs :

ax² = bx ax² = b ax =b ax² + bx = c ax² + c = bx ax² = bx + c

En outre, pour l'équation x² = 8x, il ne donne que la racine 8 (oubliant la racine zéro, qui n'est pas considérée comme un nombre). Dès justifications géométriques des résolutions proposées sont données mais, à l'opposé des grecs, l'esprit de cette méthode est algébrique.
Dans les équations du second degré, l'usage des nombres négatifs ne se répand qu'à la fin du XVIe siècle, même s'ils font leur apparition 1000 ans avant dans les mathématiques indiennes. Cela explique donc que la généralisation de la méthode de résolution d'équation du second degré soit si lente.

Suivant les idées développées par Stévin en 1585, Girard, en 1629, donne des exemples d'équations avec racines négatives «Le négatif en géométrie indique une régression alors que le positif correspond à un avancement.». Il n'a d'ailleurs pas plus de scrupules avec les racines plus complexes. Il ne faut cependant pas croire que les racines négatives aient alors été acceptées par tous : Bézout en 1768 écrit encore que les équations n'ont de racines négatives que lorsque l'énoncé est «vicieux». Lazare Carnot (1753-1823) écrit dans son traité de géométrie : «Pour obtenir une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible.»